纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是四种 数学证明妙招 ,常用于证明命题(命题是对某个难题报告 的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了某些某些领域(比如数学分析)的基础,就说数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法四种 非常简单。可能性亲戚亲戚朋友无需证明某个命题对于自然数n都成立,没人:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下上端的就说步骤。它们实际上原因分析,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。刚刚,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,亲戚亲戚朋友挑选n的倒下会原因分析n + 1的倒下,刚刚推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

亲戚亲戚朋友来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(这俩公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,时要算出1到50的累加,也能回家。于是高斯想出了上端的妙招 。天才都是被逼出来的么?)

亲戚亲戚朋友的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,刚刚命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    没人,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。刚刚,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

刚刚,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指就说计算机程序运行运行调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求程序运行运行有就说也能达到的终止条件(base case)。比如下面的程序运行运行,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在程序运行运行中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。无需得到f(n),时要计算f(n-1);无需f(n-1),时要计算f(n-2)……直到f(1)。可能性亲戚亲戚朋友可能性知道了f(1)的值,亲戚亲戚朋友就能也能也能填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的程序运行运行实现。使用递归设计程序运行运行的刚刚,亲戚亲戚朋友设置base case,并假设亲戚亲戚朋友会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,亲戚亲戚朋友只关注初始和衔接,而不时要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据型态实现的。正如亲戚亲戚朋友上端所说的,计算f(n),时要f(n-1);计算f(n-1),时要f(n-2)……。亲戚亲戚朋友在寻找到f(1)刚刚,会有某些空缺: f(n-1)的值这俩? f(n-2)的值是这俩? …… f(2)的值是这俩?f(1)的值是这俩? 亲戚亲戚朋友的第就说难题报告 是f(n)是这俩,结果,这俩难题报告 引出下就说难题报告 ,再下就说难题报告 …… 每个难题报告 的解答都依赖于下就说难题报告 ,直到亲戚亲戚朋友找到第就说能也能也能回答的难题报告 : f(1)的值是这俩?

亲戚亲戚朋友用栈来保存亲戚亲戚朋友在探索过程中的难题报告 。C语言中,函数的调用可能性是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,就说很自然的,递归用栈来保存亲戚亲戚朋友的“难题报告 ” 。

亲戚亲戚朋友假设栈向下增长。首先,亲戚亲戚朋友调用f(50),没人当执行到

return f(n-1) + n; 

f(50)暂停执行,并记录当前的状况,比如n的值,当前执行到的位置。刚刚调用f(99),栈增加就说frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

刚刚返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(50),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(50)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也能也能也能自行手动实现栈。就说能也能也能得到更好的运行速率 。

总结

数学归纳法

递归

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